Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 25(2005)
Heft 1

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

AUTOR: TITEL ABS

AUTOR: TITEL ABS

AUTOR: TITEL ABS

AUTOR: TITEL ABS

Herbert Henning und Brigitte Leneke: Rezension von 'H. Kütting: Beschreibende Statistik im Schulunterricht'
AUTOR: TITEL ABS Ingeborg Strauß: Autosterogramm
Heftherausgeberin: Ingeborg Strauß, Kronberg im Taunus
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 25(2005)
Heft 2

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Hans Kilian: Diskussion über die Entwicklung unseres Vereins und unserer Zeitschrift
Günter Nordmeier: Saisonbereinigte Arbeitslosenzahlen, Teil 2 - Unterrichtssequenz für den 10. Schuljahrgang Es wird ein Unterrichtsgang vorgestellt, der �ber das einfache exponentielle Gl�tten zum exponentiellen Gl�tten mit Saisonbereinigung f�hrt. Die entstehenden Gl�ttungslinien werden als N�herungen f�r Trendkurven aufgefasst und entsprechend interpretiert. Saisonfiguren werden herausgearbeitet und diskutiert. Das Verfahren wird mit seinen St�rken und Schw�chen als ein m�gliches mathematisches Modell f�r die Analyse von Zeitreihen mit deutlichen saisonalen Schwankungen dargestellt.

Jörg Meyer: Einfache Paradoxien der beschreibenden Statistik Es wird eine gr��ere Reihe von Sachverhalten vorgestellt, die der Beschreibenden Statistik zugerechnet werden k�nnen und die dem gesunden Menschenverstand paradox oder doch sehr verbl�ffend erscheinen, jedenfalls auf den ersten Blick. Die Ausgangsbeispiele sind oft sehr einfache Situationen, die aber auf praktisch wichtige F�lle �bertragen werden k�nnen.

Hans Kilian: Darstellung und Analyse der Anzahl der Teiler natürlicher Zahlen mit Methoden der Explorativen Datenanalyse Darstellung der Anzahl der Teiler der Zahlen von 1 - 50 (bzw. 1 - 99) in einer aus der Explorativen Datenanalyse angeregten Form, als Erg�nzung f�r die Auseinandersetzung mit dem Ph�nomen der Teilbarkeit der Zahlen im 6. Schuljahr

Heftherausgeber: Hans Kilian; Dortmund
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 25(2005)
Heft 3

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Caroline Hollingsworth: Ein Einstieg in die Statistik mit Cuisenaire-Stäben Cuisenaire-St�be liefern eine konkrete Verk�rperung f�r das Erlernen der Begriffe arithmetisches Mittel, Median und Modalwert durch Mittelsch�ler. Diese statistischen Konzepte werden gew�hnlich abstrakt gelehrt, aber sie k�nnen durch gegenst�ndliches Manipulieren besser verstanden werden.

Lionel Pereira-Mendoza: Graphisches Darstellen von Daten in der Grundschule: Algorithmus kontra Verständnis Dieser Artikel untersucht die Rolle des graphischen Darstellens bei der Datenauswertung in den ersten Schuljahren.

Erhard Cramer und Dirk Nasri-Roudsari: Die Siebformel von Poincaré-Sylvester und 'Runs' - Eine Anwendung in der Informatik Die Methode der Inklusion-Exklusion kann genutzt werden, um aufeinanderfolgende obere und untere Schranken für die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses zu erhalten. Dies wird dann angewendet, um die Wahrscheinlichkeit schadhafter Segmente auf einer Festplatte von Mikrocomputern zu berechnen.

Joachim Kunert, Frank Lehmkuhl und Anja Schleppe: Ein statistisches Experiment mit Schülern auf Bevorzugung von Erfrischungsgetränken Bericht �ber ein Projekt in der Schule auf dem Niveau der Sekundarstufe II.

Andy Begg: Statistik und mathematisches Arbeiten Die in der Entwicklung der Schulmathematik zunehmende Betonung darauf, was Mathematiker tun, gegen�ber dem, was sie wissen, bietet einige interessante M�glichkeiten f�r den Statistikunterricht. Der Beitrag untersucht diese Prozesse und deutet die Art der m�glichen Einflussnahme auf die Schule an.

Gerhard Brüstle: Rezension von 'K. Bosch: Lotto und andere Zufälle' ... Wie es aber nun anstellen, daß man als Lottospieler möglichst große Chancen .. hat? ... Hierzu gibt uns Karl Bosch ... Auskunft. ... ... Man muß bemüht sein, gegen die anderen Lottospieler zu tippen. ... Der Autor hat knapp 7 Mio zufällig ausgewählte, getippte Reihen eines Spielsamstages .. analysiert. ... Der Autor hat es sich .. zum Ziel gemacht, Grundbegriffe .., die auch sonst im täglichen Leben oft benutzt werden, ... anschaulich und verständlich darzustellen. ... ist das vorliegende Werk als schmackhafte Einführungskost zur Stochastik zu empfehlen.

Gerhard König: Rezension von 'G. Brüstle: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Klasse 10'
Manfred Borovcnik: ICoTS 4 - Die 4. Internationale Konferenz über 'Teaching Statistics'
Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Elke Warmuth; Berlin
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 26(2006)
Heft 1

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Joachim Engel: Das Achensee-Paradoxon Kann eine zuf�llige, dritte Zahl eine Schiedsrichterfunktion einnehmen, wenn zu entscheiden ist, ob eine Zahl A gr��er ist als eine zweite, unbekannte Zahl B? Mit Hilfe eines elementaren Wahrscheinlichkeitsmodells und der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit wird eine zun�chst �berraschende Aussage bewiesen. Anhand von Spezialf�llen wird die Aussage n�her erl�utert und plausibel gemacht.

Ann-Lee Wang: Chinesische Dominospiele Wahrscheinlichkeitsexperiment f�r Schulkinder mit W�rfeln oder M�nzen sind weit verbreitet. Dominosteine werden selten genutzt. In diesem Artikel werden f�nf Experimente mit Dominosteinen beschrieben, die auf chinesischen Spielregeln beruhen.

Manfred Buth: Testen von Hypothesen in der pharmazeutischen Praxis Zu Beginn des Beitrags wird zun�chst der mathematische Hintergrund f�r den f-Test und den t-Test skizziert. Anschlie�end wird �ber eine konvexe Testreihe berichtet, die sich auf die Tablettenherstellung bezieht. Die Daten stammen aus einem pharmazeutischen Praktikum der Universit�t Hamburg. Sie sind trotzdem sehr realit�tsnah. Denn dem Verkauf der produzierten Tabletten stehen nur die strengen Bestimmungen des Arzneimittelgesetzes entgegen. Im �brigen geht es genau so zu wie in der pharmazeutischen Industrie. Nach einem kurzen Abschnitt mit weiteren Informationen zur Praxis des Testens von Hypothesen folgt dann eine didaktische Wertung der Ergebnisse im Hinblick auf den Stochastikunterricht.

David Drew und Dave Steyne: Die 100 größten Städte der Welt - eine Studie über Ungleichheit Daten f�r die hundert gr��ten St�dte der Welt werden vorgestellt. Sie bilden den Teil einer Fallstudie, in deren Rahmen Studenten in Explorativer Datenanalyse unterrichtet wurden, aber sie sind auch von zus�tzlichem Interesse, da sie den Blick auf Armut und Unterentwicklung in der Dritten Welt und den Kontrast zum Wohlstand der Ersten Welt richten.

Gunter Stein: Mathematische Biologie im Stochastikunterricht Eine Aufgabe aus einem Schulbuch gibt Anlass zur Diskussion �ber fragw�rdige Anwendungen im Mathematikunterricht.

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Bernd Wollring; Kassel



Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 26(2006)
Heft 2

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Leslie Glickman: Isaac Newton - Der moderne statistische Berater Aus der historischen Analyse der Vorgehensweise bei der L�sung eines speziellen Problems (in der eine damals �bliche Fehlvorstellung zu einer falschen Erwartungshaltung f�hrte) kann man viel f�r die moderne statistische Beratung lernen. Das zeigt der Autor am Beispiel von Newton, der sich nur sporadisch mit Problemen der Wahrscheinlichkeit auseinandersetzte und dennoch in seiner Herangehensweise beispielgebend ist.

Richard W. Madsen: Vorstellungen von Wahrscheinlichkeit bei Sch�lern der Sekundarstufen Studierende entwickeln Vorstellungen von Wahrscheinlichkeit ohne formalen Unterricht im Fach und einige ihrer Vorstellungen sind mit den Konzepten, die dann unterrichtet werden, nicht vereinbar. Eine Studie mit 200 Sch�lern der Sekundarstufen sollte �ber diese Vorbegriffe Aufschlu� geben. Der Fragebogen und die Ergebnisse werden hier vorgestellt.

Gottfried E. Noether: Gedachte Zufallszahlen: Empfundene und wirkliche Zuf�lligkeit Die Intuition �ber Wahrscheinlichkeit ist h�ufig nicht nur sehr vage, sondern pa�t mit theoretischen Vorstellungen nicht zusammen. Ein Musterbeispiel sind gedachte Abh�ngigkeiten, wo keine sein sollten. So etwa vermeidet man es intuitiv, beim Ersinnen von zuf�lligen Zahlen zwei gleiche Zahlen hintereinander zu nennen. Ein Klassenexperiment dazu und die Auswertung in einem Vergleich mit simulativen Ergebnissen von Zufallszahlen wird hier vorgestellt.

D. N. Hunt: Common-Sense zum Ziehen von Stichproben Anwenderstudenten haben mit der Statistik h�ufig Motivationsprobleme. Andererseits benutzen sie in ihrem eigenen Fach Daten aus Stichproben zur Bearbeitung aktueller Fragestellungen. Ein Fragebogen sollte Aufschlu� dar�ber ergeben, welche Vorstellungen diese Studierenden von den einschl�gigen Begriffen haben. Gleichzeitig bildete der Fragebogen eine interessante Auseinandersetzung f�r den Unterricht. Dar�ber wird hier berichtet.

Neville Hunt und John S. Croucher: Standard-Fehler In seinem Editorial in Teaching Statistics schreibt Hunt �ber die Schwierigkeit, bei der Stellung von Pr�fungsaufgaben alle Mi�verst�ndnisse vorherzusehen. Er schlie�t mit dem Wunsch, eine Rubrik f�r Standard-Fehler in Teach. Stat. einzurichten. Croucher reagiert in einem Leserbrief darauf und f�hrt einen ersten Standardfehler im Zusammenhang mit dem Zentralen Grenzverteilungssatz an.

Peter Holmes: Lehrpl�ne auf das Jahr 2000 hin Dies ist ein Bericht von Peter Holmes �ber die Ergebnisse der englischsprachigen Arbeitsgruppe an der Fourth International Conference on Teaching Statistics (ICoTS 4) in Marrakesch im Juli 2004. Der vollst�ndige Bericht kann bei ihm unter der Adresse Centre for Statistical Education, Probability & Statistics, University of Sheffield, S3 7H, angefordert werden.

Joan Garfield: Aus der didaktischen Forschung Im folgenden werden aktuelle Forschungsarbeiten aus den USA im Zusammenhang mit dem Computer im Stochastikunterricht referiert. An Themen werden tangiert: Vorstellungen von Studenten �ber Wahrscheinlichkeit, Studentische Auffassungen von Zufall, Schl�sse �ber Beziehungen zwischen zwei Variablen, Verst�ndnis des Gesetzes der Gro�en Zahlen.

John E. Freund und Benjamin M. Perles: Einige Beobachtungen zur Definition von P-Werten Viele B�cher definieren P-Werte auf verschiedene Weisen, und es wird allgemein hin angenommen, da� diese Definitionen �quivalent sind. Da� dies nicht der Fall ist, mag �berraschen, aber wir werden hier zeigen, da� einige Definitionen nicht einmal mit solch einer elementaren Prozedur wie der Spezifikation einer kritischen Region im Einklang steht.

Alan H. Watkins und Nick Lord: Integrieren der Dichte der Normalverteilung In Teach. Statistics 15(2003), Heft 2, wurde eine knappe Darstellung der Integration der Dichte der Normalverteilung gegeben. Der �bliche Weg f�hrt �ber Doppelintegrale, wobei das Integral durch Einf�hrung von Polarkoordinaten l�sbar wird. Die dabei erforderliche Jacobi-Determinante wurde zwar heuristisch motiviert, stellt aber einen Nachteil f�r die Behandlung in der Sekundarstufe dar. Zuerst werden kurz die wesentlichen Details von Watkins wiedergegeben; der darauffolgende Leserbrief von Kent skizziert einen heuristischen Umweg, der die Doppelintegrale vermeidet.

Manfred Borovcnik: Statistische Qualit�tsregelung zur Einf�hrung in die Beurteilende Statistik Statistisches Testen gilt als schwierig. Einige der Verst�ndnisprobleme entstehen aber eigentlich dadurch, da� man die Verfahren von ihrem urspr�nglichen Zusammenhang abgel�st und verallgemeinert hat. Der historische Umweg zum Testen �ber Fragen der Qualit�tsregelung kann den Unterricht bereichern und die angesprochenen Schwierigkeiten vermeiden. Die grundlegenden Fragestellungen der Qualit�tsregelung werden im folgenden dargestellt. Ein Grundtyp von Problemen wird dann ausf�hrlich im Kontext der Qualit�tsregelung behandelt. Schlie�lich werden Bez�ge zum Testen von Hypothesen gekn�pft; daraus wiederum ergeben sich Anregungen f�r den Unterricht zum Testen. Ein Ausblick auf Vertiefungen in der Qualit�tskontrolle rundet die Ausf�hrungen ab.
Heftherausgeber: Manfred Borovcnik
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 26(2006)
Heft 3

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Hans Humenberger: Das Benford-Gesetz über die Verteilung der ersten Ziffern von Zahlen Zahlen bei Hausnummern, Halbwertszeiten, Energieverbrauchszahlen haben nach Benford die Eigenschaft, dass sich eine abnehmende relative H�ufigkeit von 1 bis 9 als Anfangsziffer ergibt. Das Problem wird geschildert, diskutiert und mit weiterf�hrenden Betrachtungen von R.A.Raimi sowie R.S.Pinkham erg�nzt.

Heinz Althoff: Erfahrungen mit zwei Leistungskurs-Abituraufgaben Vorstellung und Diskussion von zwei Stochastikaufgaben einer Abiturklausur 2005.

Heinz Klaus Strick: Erfahrungen mit einer Leistungskurs-Abituraufgabe Beschreibung mit Bewertungsvorschlag sowie Ergebnisdarstellung einer Aufgabe zum Thema Bundestagswahl 2004. Zur L�sung notwendige Kenntnisse sind: Baumdiagramme, Sch�tzen von Anzahlen, Verwendung von N�herungsformeln, rekursive Wahrscheinlichkeitsberechnung bei Bernoulli-Versuchen ebenso wie die Poisson-N�herung, sachbezogene Beschreibung von Fehlern beim Hypothesentest.

Karl-Heinz Krautkrämer: Erfahrungen mit einer Leistungskurs-Abituraufgabe Aufgabenstellung, erwartete Sch�lerleistungen, Ergebnisdiskussion einer Aufgabe zur Verkehrsmittelnutzung von Studenten zu ihrer Universit�t. Stoff, der ben�tigt wird zur L�sung: Stichprobenraum, Berechnungen an Wahrscheinlichkeitsb�umen, binomialverteilte Zufallsgr��en, Ablesen aus Tabellen, Hypothesentests, G�tefunktion.

Ruma Falk: Ein klassisches Wahrscheinlichkeitsproblem Es wird ein klassisches Wahrscheinlichkeitsproblem (Wahrscheinlichkeit, dass drei M�nzen mit der gleichen Seite nach oben fallen) mit einer offensichtlich falschen L�sung analysiert. Die Kl�rung des entstehenden Widerspruchs beleuchtet grundlegende Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Gerhard König: Newsletter of the international study group for research on learning probability and statistics
Gerhard König: Können 500 Volksweisheiten irren? Sammlung von Vor- und Fehlurteilen Rezension von 'W. Krämer und Götz Trenkler: Lexikon der populären Irrtümer
Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Hans-Dieter Sill; Rostock
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 27(2007)
Heft 1

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Gary Kader und Mike Perry: Wann gebraucht man Boxplots? Nach einer Beschreibung der Technik der Boxplotherstellung in der Explorativen Datenanalyse werden Verwendungsm�glichkeiten diskutiert. Speziell wird aufgezeigt, wie Missbr�uche zu vermeiden sind. Peter Bender: Grundvorstellungen und Grundverständnis für den Stochastikunterricht Im Stochastikunterricht sollen die Lernenden geeignete Grundvorstellungen und -verst�ndnisse (GVV) f�r die mathematische Begrifflichkeit ausbilden und dabei ihr Denken, die Mathematik und die Anwendungen zum Passen bringen. Der in den Sekundarstufen fundamentale Begriff der Funktion (als Zuordnung zwischen zwei Mengen) liefert daf�r eine Basis, allerdings nicht in einer abstrakten Form, sondern mental in der Lebenswelt verankert. -- F�r einige zentrale Inhalte der elementaren Stochastik werden solche GVV diskutiert.

Wai-Sum Chan: Das Mang Kung - Würfelspiel Es wird ein chinesisches W�rfelspiel vorgestellt. Nach der Beschreibung werden seine Wahrscheinlichkeitsverteilung untersucht und Spielsimulationen diskutiert.

Thomas Bradstreet und Thomas Dobbins: Wann sind zwei Arzneiformen austauschbar? Dieser Aufsatz diskutiert eine Anwendung der schlie�enden Statistik in der Pharmazie. Es wird die Frage der therapeutischen Gleichwertigkeit von Arzneimitteln aufgegriffen und an einem konkreten Beispiel ausf�hrlich beantwortet. Dabei spielen die Begriffe Bio�quivalenz und Bioverf�gbarkeit und deren Bestimmung eine besondere Rolle.

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Gerhard König; Karlsruhe
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 27(2007)
Heft 2

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Mary Rouncefield: Ein herbstliches Experiment Dieser Artikel befasst sich mit zwei Studien von Kindern, die sich mit den Naturph�nomenen ihrer Umwelt besch�ftigten. Sie fragten nach den Ursachen dieser Ph�nomene und entwickelten ihre eigenen Versuche, um Hypothesen aufstellen zu k�nnen.

Chris du Feu: Der Einsatz des Computers in der beschreibenden Statistik Das Pro und Contra des Computer-Einsatzes im Bereich der deskriptiven Statistik wird diskutiert, besonders auch mit Blick auf �berpr�fungsverfahren wie z.B. Klausuren. Die Stellungnahme f�llt eindeutig zugunsten des Computers aus. An Beispielen wird eine angemessene Vorgehensweise zur Layout-Optimierung von Diagrammen gezeigt.

Ralph Riddiough und John McColl: Wie lange dauert es, Jack's Haus zu bauen? In einer Klasse mit 14-j�hrigen Sch�lern wird durch Simulation beim 6-teiligen Rechteck-Puzzle Jigsaw experimentell ermittelt, wie oft man im Schnitt w�rfeln muss , um es zu vollenden. Analoge �berlegungen werden auf das kompliziertere Puzzle Jack's Haus angewandt. -- Zwei Computerprogramme dazu runden die �berlegungen ab.

David Harding: Welche Spannweite hat eine Zahlenmenge? Sind nur arithmetisches Mittel und Standardabweichung einer monoton steigenden Zahlenfolge des Umfangs n bekannt, so kann die n-te Zahl nicht beliebig gro� sein. Die Schranken f�r die Spannweite werden angegeben.

Rex Watson: Ist Problemlösen ein Lotterie-Spiel? Beim Zahlen-Lotto ''6 aus 49'' werden zuf�llig benachbarte Zahlen gezogen. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit f�r einen solchen Ausfall? Die Standard-Berechnung wird hier erg�nzt durch einen neuen, ungew�hnlichen L�sungs-Gedanken.

Roger Porkess: Bivariate Daten Die Problematik beim Auswerten realer bivariater Daten -- z.B. bei Projekt-Arbeit -- wird intensiv diskutiert: die Angemessenheit der Vorgehensweise, die Pr�missen bei der Anwendung theoretischer Modelle (Korrelation, Regression), das Modellieren von Tests sowie der ad�quate Umgang mit voraussagef�higen Test-Verfahren.

Mike Fuller: Statistik im Internet Es werden einige Internet-Adressen mitgeteilt, die Lehrern der Mathematik und anderer einschl�giger F�cher helfen k�nnen, sich interessantes und vor allem aktuelles statistisches Material f�r den Unterricht zu besorgen.

Derek Bissell: Die Herkunft stochastischer Fachbegriffe F�r Stochastiker wie Nicht-Mathematiker gleicherma�en ist interessant und lehrreich zu wissen, wo stochastische Termini ihren Ursprung haben und welche urspr�ngliche Bedeutung diese besa�en. Besonders das Indoeurop�ische, Griechische, Lateinische und (Alt-)Franz�sische sind eine Fundgrube. -- Zu betonen ist jedoch, dass die Sicht des Verfassers naturgem�� die eines englisch-sprachigen Mathematikers ist. -- Nicht zuletzt durch die Computer ist Englisch nahezu jedem daran Interessierten mehr oder weniger vertraut, weshalb auf eine K�rzung der �bersetzung (und die damit einhergehende Verengung) verzichtet wurde.

Gerhard König: Wie gut ist unser Mathematikunterricht? Die TIMMS-Studie Die Ergebnisse der internationalen TIMSS-Studie werden hinsichtlich der Ergebnisse der deutschen Sch�ler in Stochastik diskutiert.

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeberin: Ingeborg Strauß, Kronberg im Taunus
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 27(2007)
Heft 3

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Heinz Althoff: Die Entwicklung des Stochastikunterrichts am Helmholtz-Gymnasium Bielefeld Als ich 1963 zum Helmholtz-Gymnasium kam, geh�rte die Stochastik nicht zu den Gebieten, die man im Mathematikunterricht behandelte. Wenn es damals �berhaupt schon Gymnasien gab, bei denen es anders war, so war das auch dort sicherlich auf einzelne Mathematiklehrer beschr�nkt. Umfang und Bedeutung der Stochastik im heutigen Mathematikunterricht der Gymnasien lassen fragen, wann, aus welchen Gr�nden und in welcher Weise sich hier in den letzten 30 Jahren etwas ver�ndert hat. Inwieweit dabei das Helmholtz-Gymnasium Bielefeld eine besondere Rolle gespielt hat, m�chte ich -- aus Anlass des 100-j�hrigen Schuljubil�ums -- auf den folgenden Seiten mit verdeutlichen.

Heinz Althoff: Erfahrungen mit zwei Grundkurs-Abituraufgaben aus der Stochastik Der Autor stellt zwei Stochastikaufgaben vor, die am Helmholtz-Gymnasium Bielefeld in Grundkurs-Abiturpr�fungen eingesetzt wurden, und berichtet �ber die Erfahrungen mit diesen Aufgaben.

Peter Eichelsbacher und Matthias Löwe: Boltzmann's Gesetz S = k log W Die Autoren erarbeiten die grundlegenden Aussagen aus Ludwig Boltzmanns Artikel ''�ber die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen W�rmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den S�tzen �ber das W�rmegleichgewicht'' aus dem Jahre 1877 mit den Hilfsmitteln elementarer Mathematik. Wir zeigen die Analogie zwischen dem Boltzmannschen Entropiebegriff in einem einfachen N-Teilchen Modell und dem Shannonschen Entropiebegriff aus der Informationstheorie auf. Die im Beweis verwendeten Methoden erlauben einen kleinen Einblick in die sogenannte ''Theorie der gro�en Abweichungen''.

Hans Humenberger: Eine Ergänzung zum Benford-Gesetz - weitere mögliche schulrelevante Aspekte In Humenberger (2006) wurde das Problem n�her beleuchtet, warum die Auftrittswahrscheinlichkeit P(k) einer Ziffer k, als erste Ziffer einer Zufallszahl zu stehen, nicht f�r alle 9 m�glichen Ziffern jeweils 1/9 betr�gt, sondern von 1 bis 9 abnimmt nach einem logarithmischen Gesetz, das nach Benford benannt ist. Dieses Gesetz gilt f�r beliebige ''physikalische Konstanten'' als m�gliche Zufallszahlen, wie sich aus der Forderung nach Skaleninvarianz ergibt. Statt reellen Zahlen kann man zun�chst nat�rliche Zahlen als potentielle Zufallswerte nehmen und fragen, wie dann die Auftrittswahrscheinlichkeiten sich absch�tzen lassen. Genau dies ist der Inhalt dieses Erg�nzungsbeitrages, der ausschlie�lich elementarste Schulmathematik enth�lt und uns dadurch f�r selbst�ndige Sch�leraktivit�ten besonders geeignet erscheint.

Rudolf Haller: Zog Pepys falsche Schlüsse? Und hat Newton recht? Es handelt sich um Erg�nzungen zu Isaac Newton -- Der moderne statistische Berater (Heft 2/2006). Das im Artikel von Leslie Glickman behandelte Problem von Pepys wird in einen allgemeineren Rahmen gestellt und dabei untersucht, ob die von Newton gefundene Monotonie noch zutrifft, wenn man 1. statt der W�rfel andere Zufallsger�te jeweils gleicher Art zul�sst, 2. diese Zufallsger�te mischt, oder 3. die urspr�ngliche Anzahl der W�rfel best�ndig erh�ht. Und schlie�lich ist der Autor �berzeugt, dass Newton das Wartezeitexperiment nicht richtig gel�st hat.

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Elke Warmuth; Berlin
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Sonderheft
2007

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Heiz Boer: AIDS - Welche Aussagekraft hat ein 'positives' Test-Ergebnis? Aids-Tests finden mit hoher Zuverl�ssigkeit Infizierte unter den Untersuchten und klassifizieren mit hoher Sicherheit Nicht- Infizierte als solche. Trotzdem bedeutet ein positives Testergebnis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 9%, dass eine Infektion vorliegt. Der Sachverhalt wird hier aufgekl�rt und ein doch brauchbarer Umgang mit dem Test vorgeschlagen.

David Drew und Dave Steyne: Die 100 größten Städte der Welt Daten f�r die hundert gr��ten St�dte der Welt werden vorgestellt. Sie bilden den Teil einer Fallstudie, in deren Rahmen Studenten in Explorativer Datenanalyse unterrichtet wurden, aber sie sind auch von zus�tzlichem Interesse, da sie den Blick auf Armut und Unterentwicklung in der Dritten Welt und den Kontrast zum Wohlstand der Ersten Welt richten.

Jörn Bruhn: Retrospektiver Einsatz von klassischen Testverfahren Der Autor befa�t sich mit der Interpretation statistischer Aussagen, er stellt dieses Hintergrundthema sehr unterrichtsnah an Beispielen dar. Er polarisiert zwischen statistischer und inhaltlicher Pr�fung von Hypothesen. Nach erfolgter statistischer Absicherung mu� eine inhaltliche Pr�fung anschlie�en.

Günter Nordmeier: Saisonbereinigte Arbeitslosenzahlen, Teil 1 - Unterrichtssequenzen für den10. Schuljahrgang Die Problematik,Arbeitslosigkeit' wird sicher im Unterricht der allgemeinbildenden Schulen aufgegriffen. Die Entwicklung der Arbeitslosenzahlen h�ngt vor allem von der konjunkturellen Lage und von strukturellen wirtschaftlichen Gegebenheiten ab. Im Verlauf eines Jahres jedoch unterliegt sie in einem erheblichen Umfange saisonalen Einfl�ssen. Durch die Quantifizierung dieser Saisoneinfl�sse, durch die Beschreibung einer Saisonfigur und durch die Saisonbereinigung gelingt es, die Entwicklung der Arbeitslosenzahlen relativ gut zu beschreiben und schlie�lich auch den Trend zufriedenstellend abzusch�tzen. Im Aufsatz werden zwei elementare Verfahren vorgestellt, die auf der Zerlegung in Komponenten beruhen. Schwerpunktm��ig werden m�gliche Unterrichtsg�nge bis hin zur Saisonbereinigung dargestellt. In einem weiteren Aufsatz wird der Verfasser am Beispiel der monatlichen Arbeitslosenzahlen eine andere Art der Zeitreihenanalyse vorstellen, n�mlich das erweiterte exponentielle Gl�tten.

Helmut Wirths: Beziehungshaltige Mathematik in Regression und Korrelation Im Analysisunterricht lernen die Sch�ler, den Graphen zu einer gegebenen Zuordnungsvorschrift zu zeichnen. In diesem Beitrag wird die Umkehrung betrachtet: Zu einer gegebenen Punktmenge soll eine dazu passende Funktionsgleichung bestimmt werden. Die Behandlung von mehrdimensionalen Zufallsgr��en ist sinnvoll, da mit den Begriffen Regression und Korrelation bedeutende Mathematisierungsmuster zur Verf�gung stehen. Hier k�nnen Sch�ler vor allem beim Sammeln, Darstellen und Auswerten des Datenmaterials, aber auch im Entdecken und Interpretieren von Zusammenh�ngen vielf�ltige Aktivit�ten entwickeln.

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Hans Kilian; Dortmund
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 28(2008)
Heft 1

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Norbert Henze: Die Auflösung eines Wartezeit-Paradoxons - oder - Newton hatte nur teilweise recht! In Erg�nzung des Aufsatzes ''Zog Pepys falsche Schl�sse? Und hat Newton recht?'' (Heft 3/2007) von R. Haller wird dargelegt, dass es bei einem von Newton behandelten Wartezeitproblem nicht darauf ankommt, wer zuerst wirft (letzteres glaubte Newton).

Hellmut Wirths: Ein Harmonietest - Die ersten Stunden in Stochastik Es wird eine Unterrichtseinheit beschrieben, in der der begriffliche Unterschied zwischen relativer H�ufigkeit und Wahrscheinlichkeit gemacht werden soll. In Niedersachsen ist dies Thema in der 7. Klasse. Die Sch�lerinnen und Sch�ler ben�tigen keine stochastischen Vorkenntnisse. Sie sollen mit Bruchzahlen, Dezimalzahlen, evtl. auch bereits mit Prozenten sicher umgehen k�nnen. Es wird eine erprobte Unterrichtseinheit vorgestellt, in der Sch�lerinnen und Sch�ler in einem lebendigen Lernprozess Wesentliches untereinander aushandeln k�nnen.

Günter Schmidt: Experimenteller und anschaulicher Stochastikunterricht rund um das 'Problem der abgebrochenen Partien' Die Frage nach der gerechten Aufteilung des gesamten Einsatzes bei vorzeitigem Abbruch eines Gl�cksspiels (probl�me des parties) sieht nicht nur am Anfang der relativ kurzen Entwicklungsgeschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das Problem eignet sich auch in hervorragender Weise zu einer ad�quaten Begriffsbildung bei Sch�lerinnen und Sch�lern im Stochastikunterricht. Dies kann zu einem genetischen Zugang unter Einsatz vielf�ltiger, selbst�ndiger Sch�leraktivit�ten mit geeigneten Real- und Computerexperimenten und durch eindrucksvolle Visualisierung (u.a. am Galton-Brett und sogar am Sierpinski-Dreieck) geschehen.

Helmut Wirths: Berechnung von Binomialwahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Computers Es werden Probleme diskutiert, die bei der Berechnung von Bereichswahrscheinlichkeiten im Modell der Binomialverteilung auftreten, wenn die betrachteten Bernoulli-Ketten besonders lang sind. Berichtet wird �ber Erfahrungen mit der expliziten und der rekursiven Gleichung zur Berechnung von Einzelwahrscheinlichkeiten und von Bereichswahrscheinlichkeiten beim Einsatz unterschiedlicher Hard- und Software. Ausf�hrlich wird ein Algorithmus erl�utert, der �ber die Grenzen der expliziten wie der rekursiven Gleichung hinaus Berechnungen erm�glicht. Den Abschluss bilden didaktische Reflexionen zum Computereinsetz im Stochastikunterricht, vor allem unter der didaktischen Vorgabe, motivierende und praxisnahe Fragestellungen bereits im Modell der Binomialverteilung zu behandeln.

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Hans Kilian; Dortmund
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 28(2008)
Heft 2

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen


Rudolf Haller: Probleme mit dem problème des parti(e)s Anmerkungen zu G. Schmitdts Artikel 'Experimenteller und anschaulicher Stochastikunterricht'

Heinz Siegler: Wahrscheinlichkeiten bei Fußballauslosungen Bei internationalen Fu�ballpokalwettbewerben interessiert die Fans - wenn mehrere Vereine aus einem Land teilnehmen - bei der Auslosung vielleicht die Frage, wie wahrscheinlich ein Zusammentreffen aus diesem Land ist. Einige Beispiele dazu aus der Fu�ballgeschichte werden aus deutscher Sicht betrachtet.

Raphael Diepgen: Ein alternder Playboy, die Medien und eine fragwürdige Statistik: eine kleine Anregung für den Unterricht Diskussion eines "Zeit"-Artikels von Gunter Sachs mit dem Titel: "Die Sterne der Liebe. Eine Statistik der Eheschlie�ungen zeigt: So ohne ist Astrologie nicht". Auf der Grundlage von Daten aus der Schweiz folgert Sachs, Dass "zwischen den Sternen beziehungsweise dem zyklischen Verlauf unseres Sonnensystems und den Eheschlie�ungen Schweizer B�rger zwischen 1987 und 2004 ein Zusammenhang besteht". Die inferenzstatistische Argumentation in diesem Artikel wird kritisch untersucht.

Ödön Vancsó und Elke Warmuth: Schwierigkeiten mit dem Stabilwerden der relativen Häufigkeiten - Das 1 durch Wurzel n - Gesetz Auf eine kurze Einf�hrung �ber Interpretationen von Wahrscheinlichkeiten folgen im zweiten Teil heuristische Untersuchungen des Verhaltens der relativen H�ufigkeit sowie didaktische �berlegungen zum schwachen Gesetz der gro�en Zahlen. Im dritten Teil wird �ber Schwierigkeiten im Umgang mit diesem Gesetz berichtet, dem im letzten Teil eine m�gliche Unterrichtssequenz f�r einen Leistungskurs in der S II zur Behandlung des Gesetzes der gro�en Zahlen im Rahmen des Sch�tzens einer unbekannten Wahrscheinlichkeit folgt.

Paul Bungartz: Rezension von 'N. Henze: Stochastik für Einsteiger' ... Das Buch 'Stochastik für Einsteiger' wird der Zielgruppe gerecht. Es ist eine bewußte Einschränkung auf elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Doch wird der Leser, der als Anfänger dies durchgearbeitet hat, sicher das Bedürfnis verspüren, sich noch intensiver mit dieser interessanten Wissenschaft zu beschäftigen. ..

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Hans Kilian; Dortmund
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 28(2008)
Heft 3

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Bernhard Waldm�ller: Was sagen signifikante Ergebnisse? - Zu einem Beispiel aus der Zeitung Unter dem Titel "Glaubenskrieg um Kr�mmel" beschreibt Gerd Rosenkranz in einem sehr lesenswerten Zeitungsartikel (Rosenkranz 2008) den Stand der Auseinandersetzung um die Frage, ob Atomanlagen Leuk�mie bei Kindern verursachen oder nicht. Dabei spielt eine wichtige Rolle, ob Daten signifikante H�ufungen aufweisen und welche Schl�sse man daraus ableiten kann. Von diesem Artikel habe ich mich anregen lassen und ein Fallbeispiel konstruiert, an dem ich mit Sch�lern arbeiten kann: signifikante H�ufungen feststellen, sehen, wie damit argumentiert wird, erfahren, da� statistische Aussagen letztlich keine abschlie�enden Antworten geben.

Guido Pinkernell: Zufallsgeneratoren und Baumdiagramme - Ein Beispiel, wie eine Rechnersimulation bei der wahrscheinlichkeitstheoretischen L�sung eines stochastischen Problems helfen kann Es wird ein Unterrichtskonzept beschrieben, in dem die Rechnersimulation eines stochastischen Problems vermittelnd zwischen seine Realsimulation und der wahrscheinlichkeitstheoretischen L�sung gestellt wird. Dadurch motiviert, eine zur L�sung hinreichend gro�e Anzahl an Simulationen durchf�hren zu k�nnen, wird ein Computerprogramm erstellt, dessen Struktur ein entsprechendes Baumdiagramm in wesentlichen Teilen vorwegnimmt.

Jonny Griffiths: Der Error Blues I Griffiths schreibt in einem Leserbrief an Teaching Statistics: Ich dachte, Sie und Ihre Leser k�nnten an diesem Lied interessiert sein, das ich w�hrend meiner Forschungen �ber die Arbeit des klassischen alten Blues-S�ngers Gatemouth Johnson ausgegraben habe, der untertags nat�rlich einen Job als Statistiker bei den Mississippi-Wasserwerken hatte. Das Lied hei�t "The Type I / Type II Error Blues" und, soweit ich Gatemouth verstehe, bedeutet: H0: die Behauptung, der Angeklagte ist unschuldig; H1: die Behauptung, der Angeklagte ist schuldig. Der Held, Reggie Hotshot (steht hier f�r Ablehnen von H0, wenn H0 wahr ist), ist einem Fehler 1. Art zum Opfer gefallen, ...

Louis Pingel: Der Error Blues II Griffiths pr�sentiert den "Error Blues", in dem das Ergebnis einer Verhandlung f�r den einen Angeklagten einen Fehler 1. und f�r den anderen einen Fehler 2. Art darstellt. Dies verschafft eine wunderbare Gelegenheit, mit Studenten die verschiedenen M�glichkeiten von Fehlern 1. und 2. Art beim statistischen Testen zu erforschen. Angenommen, zwei Forscher testen dieselbe Hypothese an derselben Grundgesamtheit, aber mit verschiedenen Stichproben.

Hans G. Sch�nwald: Beweis�berlegungen f�r das Integral �ber die Normalverteilungsdichte Die in der �berschrift formulierte Gleichung besagt, da� die Gau�sche Glockenkurve in der richtigen Normierung eine Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt; das macht die Aussage f�r die Stochastik interessant. Sie zu beweisen, ist nichttrivial; eine M�glichkeit daf�r - auf anschaulichem Niveau - wird hier beschrieben. In einem leistungsstarken Kurs l��t sich dies nachvollziehen. Im Anschlu� an diese - vom h�heren Niveau aus - lediglich als Beweisskizze einzuordnende �berlegung wird einerseits auf deren L�ckenhaftigkeit hingewiesen; andererseits wird die (didaktische) Fraglichkeit der (mathematischen) L�cke diskutiert. Schlie�lich wird auf weitere Beweism�glichkeiten hingewiesen.

Stephen Tomlinson und Robert Quinn: Bedingte Wahrscheinlichkeit Verstehen Der Artikel bietet einen neuen Zugang, das schwierige Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit zu unterrichten. Die Betonung liegt dabei auf Unterrichten und Schlie�en. Als technische Hilfsmittel werden Venn-Diagramme und Baumdiagramme eingesetzt.

Mike Fuller: Neue Teaching Statistics - Liste Wir haben nunmehr eine Diskussionsliste, die eng mit der Zeitschrift Teaching Statistics verbunden ist. "Diese Liste ist f�r jene, die sich mit einf�hrendem Unterricht in Statistik besch�ftigen, egal in welcher Phase der Ausbildung. Sie wird sich auf Teaching Statistics beziehen und soll Diskussionen erm�glichen, wie man Unterricht und Lernen von Statistik wirksamer macht." Um sich in die Liste einzuschreiben, gen�gt es, subscribe teaching-statistics Vorname Name an zu schreiben.

Henrik Dahl: Unabh�ngigkeit Unterrichten Beispiele sollen aufzeigen, wie Unabh�ngigkeit in statistische Fragestellungen hineinkommt. Es wird gepr�ft, wie Unabh�ngigkeit in Lehrb�chern abgedeckt wird.

Julie Charlton: Rezension 'Graham Upton, Ian Cook: Statistik verstehen' Dieser Text behandelt alle Themen des A-Level-Curriculums und einer einf�hrenden Vorlesung an der Universit�t. [ ] Jedes neue Kapitel wird mit einer verbalen (intuitiven) Erkl�rung und einem Beispiel begonnen, dann folgt eine mehr algebraische Darstellung, schlu�endlich eine Herleitung mit Beweis. Dies ist besonders attraktiv f�r Studenten, die gerade das GCSE absolviert haben und noch nicht an die formale Darstellung in der Mathematik gewohnt sind. Das Buch bietet jedoch auch f�r die herausfordernden Studenten ausreichende Strenge. ...

Uwe K�chler: Rezension 'Norbert Schmitz: Stochastik f�r Lehramtsstudenten' Der Begriff der Stochastik fa�t zwei Disziplinen zusammen, ... Das vorgelegte Lehrbuch ist f�r Neulinge auf dem Gebiet der Stochastik gedacht und richtet sich vornehmlich an Lehramtsstudenten. Es wird aber auch von Studierenden anderer Richtungen mit Gewinn genutzt werden k�nnen. Es ist ein mathematisches Lehrbuch in gut lesbarer und studierbarer Form. Der Autor beschr�nkt sich auf die f�r das Verst�ndnis und erste Anwendungen der Stochastik notwendigsten Begriffe und Aussagen, erg�nzt sie durch zahlreiche illustrative Beispiele und Aufgaben und erm�glicht so eine erste n�here Bekanntschaft mit diesem reizvollen und lehrreichen Gebiet.
Heftherausgeber: Manfred Borovcnik; Klagenfurt
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 29(2009)
Heft 1

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Jean Melrose: Schlangen und Leitern - ein Wahrscheinlichkeitsspiel Durch Reduzierung der Felder-Anzahl des bekannten Spiels "Schlangen und Leitern", durch Verwendung anders geformter oder beschrifteter Würfel, Veränderung der Spielregeln, andere Anordnung der Schlangen und Leitern werden Fragen aufgeworfen, die Schüler zum Ende der Sekundarstufe 1 interessieren und bewältigen können.

Ronald D. Fricker: 'Ein Blick auf den Zufallsprozess in Microsoft Windows Spiel Solitaire' oder 'Wie benützt man elektronische Glücks-Spiele für statistische Projekte ?' Das populäre Computer-Spiel Solitaire wird als Vehikel für die Untersuchung eines Zufallszahlen-Generators eingesetzt. Die Erforschung seiner Eigenschaften ist eine geeignete Basis für ein schulbezogenes Projekt.

Raphael Diepgen: Warum nur n-1 und nicht n ?
Erwartungstreue - leicht gemacht Es wird der Vorschlag gemacht, im Unterricht über Beschreibende Statistik mit einfachen nichtprobabilistischen Repräsentativitätsüberlegungen den Nenner n-1 für den erwartungstreuen Varianzschätzer plausibel zu machen.

John C. Turner: Die Berechnung von P(X + Y = w) mittels Tabellenkalkulation Benutzt man die Spreadsheet-Funktion SUMPRODUCT, hinter der sich die Skalarprodukt-Bildung verbirgt, kann man die Wahrscheinlichkeiten der Summen unabhängiger diskreter Zufalls-Variablen berechnen lassen. Dadurch können Schüler spezielle Eigenschaften der Summen von Binomial- und Poisson-Verteilungen bestätigen. Auch liefert sie eine Methode, um die Verteilung der Summe zweier oder mehrerer beliebiger Zufalls-Variablen zu berechnen. Zusätzlich gibt sie dem Schüler ein Hilfsmittel an die Hand zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus der Differenz von Zufalls-Variablen und damit der Wahrscheinlichkeit, dass eine Variable (um einen gewissen Betrag) "besser" ist als die andere.

Gerd Riehl: Pepys' Problem - anders interpretiert und anders gelöst Anknüpfend an den Beitrag Isaac Newton - der moderne statistische Berater von Glickman 2006 und die darauf bezogenen Ergänzungen von Haller 2007 und Henze 2008 werden verschiedene Interpretationen der von Pepys gestellten Aufgabe diskutiert. Die Version von Haller wird als Markow-Kette behandelt; damit lässt sich Newtons ursprüngliche Auffassung der Aufgabe als Wartezeitproblem ohne die Verwendung von geometrischen Reihen lösen. Interpretiert man Newton etwas anders als Haller, so zeigt sich, daß die Chancen der Spieler - im Gegensatz zu den früher behandelten Versionen - durchaus davon abhängig sind, wer das Spiel beginnt.

Norbert Henze: Eine elementare Lösung für Pepys' ProblemFür Pepy' Wartezeitproblem sowie für eine von Riehl [s.o.] betrachtete Variante dieses Problems werden die Gewinnwahrscheinlichkeiten und die Verteilungen der Spieldauern mit elementaren Methoden bestimmt.

Heinz Klaus Strick: Das Kugel-Fächer-Modell - Arbeitsblätter für den Unterricht
Peter Beinke: Abituraufgaben aus dem Bereich der stochastischen Prozesse
Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeberin: Ingeborg Strauß, Kronberg im Taunus
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 29(2009)
Heft 2

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Robert A. Matthews: Murphys Gesetz bei Landkarten Murphys Gesetz sagt, wenn etwas schief gehen kann, geht es auch schief. Konkret übertragen auf Landkarten heißt dies: wenn ein gesuchter Ort an einer ungünstigen Stelle auf einer Karte liegen kann, dann wird er es auch. Dies wird mittels Geometrie und Wahrscheinlichkeitsrechnung gezeigt.

John Applebye: BUSTLE  -  Eine Bus-Simulation Ein Simulationsmodell wird vorgestellt und diskutiert, das illustriert, warum im öffentlichen Personenverkehr kumulative Verschiebungen im Fahrplan eintreten, wenn die Wartezeit an Haltestellen mit der Anzahl der wartenden Fahrgäste wächst. Der zufällige Effekt ist die Anzahl der pro Zeittakt an den Haltestellen eintreffenden Fahrgäste. Dazu wird ein allgemein verfügbares Computerprogramm vorgestellt, bei dem einflussreiche Parameter vom Nutzer gewählt werden können.

Robert J. Quinn und Lyndia R. West: Ein konstruktivistischer Zugang zu Permutationen und Kombinationen Es wird ein Unterrichtsgang beschrieben, in dem die Schüler ihre Kenntnisse über Permutationen und Kombinationen durch Problemlösen gewinnen. Die Schüler bearbeiten eine Anwendungsaufgabe und entwickeln dabei ein konzeptionelles Verständnis.

Ronda C. Magel: Wie man zwei Kekssorten auf Unterschiede testet? Dieser Aufsatz stellt zwei Kursprojekte vor, die beim Testen von Hypothesen einsetzbar sind. Im ersten Projekt müssen Studenten Daten sammeln, mit dem Ziel, einen Unterschied im Mittelwert der Schokoladensplitter pro Plätzchen (Kekse) bei zwei Sorten zu überprüfen. Ferner sind Daten gesammelt (2. Projekt) worden, um einen Unterschied bei Geschmackseinstufungen zu untersuchen.

David Whingham: Normalverteilungen mit EXCEL Hunt (2007) führte die Fähigkeiten von MS-EXCEL vor, statistische Tabellen der am häufigsten auftretenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu erzeugen. Ein weiterer Vorzug von EXCEL liegt darin, einfache Modelle zu entwickeln und sie an Studenten zu verteilen, welche klare visuelle Darstellungen einer gewählten Wahrscheinlichkeitsverteilung liefern. Diese Modelle ermöglichen dann den Studenten durch Vergleichen die Auswirkungen von Parameteränderungen zu erkunden.

Ted Hodgson und John Borbowski: Warum geschichtete Stichproben? In diesem Aufsatz wird ein unterrichtlicher Zugang zu geschichteten Zufallsstichproben präsentiert. Insbesondere haben die Autoren die Erfahrung gemacht, dass die vorgestellte Übung als hilfreiche Einführung dient und Schülern hilft, ein konzeptionelles Verständnis dieses Verfahrens zu entwickeln. Dies erleichtert die Diskussion um die Charakteristika und Nutzungsmöglichkeiten der verschiedensten Stichprobenverfahren. Die Übung erreicht dieses Ziel auf intuitivem Wege und kann daher in der Sekundarstufe II wie auch in elementaren Statistikkursen an Hochschulen eingesetzt werden.

Rudolf Haller: Cebysev - Tschebyschew - Tschebyschow? Die Vielfalt der Schreibweisen von Namen russischer Mathematiker in der deutschsprachigen Literatur ist erstaunlich groß, aber keineswegs gerechtfertigt und eigentlich ärgerlich. Ohne Bedenken scheint man sich an englische bzw. französische Schreibweisen anzulehnen. Transkription und Transliteration weisen jedoch jeweils einen Weg, wie man kyrillisch geschriebene Namen exakt im Deutschen wiedergeben kann. Am Beispiel des in der Stochastik wegen einer (von Bienaymé gefundenen) Ungleichung immer wieder zitierten russischen Mathematikers wird die Problematik deutlich gemacht.

Heinz Altfhoff: Ein Tagespraktikum 'Stochastikunterricht in der SII' für Lehramtsstudenten an der Universität Bielefeld Berichtet wird über Planung, Durchführung und Auswertung eines Tagespraktikums 'Stochastik in der SII', bestehend aus einem Seminar und laufenden Unterrichtsbesuchen während des WS 97/98. Die Ausführungen werden ergänzt durch Auszüge aus drei Praktikumsberichten.

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Gerhard König: Stochastikaufgaben aus TIMSS Sekundarstufe II
Heftherausgeber: Gerhard König, Karlsruhe
e-Mail:



Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 29(2009)
Heft 3

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Helmuth Wirths: Die Geburt der Statistik Wer versucht, Geschichte der Mathematik in den Unterricht mit einzubeziehen, trifft meist auf reges Interesse bei den Schülerinnen und Schülern. In diesem Aufsatz wird Material dargestellt, das im Zusammenhang mit der Frage nach den Anfängen der Stochastik als selbständiges Gebiet innerhalb der Mathematik zusammengestellt wurde. Der Beitrag gliedert sich nach Fragen, die von Lernenden häufig gestellt werden: Welche Personen waren beteiligt? Welche Probleme wurden damals diskutiert? Worin bestand das Neuartige? Warum setzt man die Geburt der Stochastik im Jahre 1654 an? Gab es vorher keine Stochastik oder kein stochastisches Denken? Am Ende des Beitrags werden Vorschläge zur Einbettung in den Unterricht gemacht. Zur Einsicht in die historischen Dokumente als Anhang zum Artikel klicken Sie bitte hier.

Barbara Ringel: Erfahrungen mit einer Leistungskurs-Abituraufgabe Vorgestellt werden für die Aufgabe die unterrichtlichen Voraussetzungen, die Aufgabenstellung, eine kurze Darstellung einer möglichen Lösung, die Ergebnisse der Arbeit sowie einige Antworten der Schülerinnen und Schüler.

Raphael Diepgen: Begründungsprobleme im Statistikunterricht.
Werkstattbericht eines Schulbuchautors Es werden einige Begründungslücken diskutiert, die sich im neuen Unterricht über Beschreibende Statistik in Klasse 11 des Gymnasiums in Nordrhein-Westfalen seines nicht-probabilistischen Charakters ergeben.

Manfred Borovcnik: Statistische Posters - Ein Wettbewerb an österreichischen Schulen Es wird über einen an österreichischen Schulen ausgeschriebenen Wettbewerb berichtet. Die gezeigten Posters sind Siegerposter von vor zwei Jahren. Für potentielle OrganisatorInnen wird ein Vorbild für ein Anmeldeformular gezeigt. Weitere Informationen erhält man unter http://www.osg.or.at

Tagungsankündigung: Hamburger Stochastik-Tage 2000 21.-24. März 2000 an der Universität Hamburg. Nähere Informationen: http://stoch2000.math.uni-hamburg.de/

Hans-G. Schönwald: Leserbrief: Bedenken gegenüber dem konstruktivistischen Zugang zu Permutationen und Kombinationen Der hier vorgestellte Unterrichtsgang gibt Schülern die Gelegenheit, ... Begriffsbildungen zu verstehen " (S.15 mitte). Das verspricht pädagogisch interessant zu werden. Wie werden die Schwierigkeiten gemeistert, die üblicherweise dem entgegenwirken? ....

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Manfred Borovcnik; Klagenfurt
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 30(2000)
Heft 1

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Hans Humenberger: Überraschendes bei Münzwurfserien Wir wollen ein Ph�nomen n�her beleuchten, das sich auf Serien von M�nzw�rfen, wie z.B. KAKKAKAAAK� bezieht. Stellt man unvoreingenommen die Frage, welches der Muster KAKA oder AKAA das ''wahrscheinlichere'' sei, so kann man zu v�llig verschiedenen Ergebnissen gelangen. Wir setzen dabei voraus, dass es sich um einen Bernoulli-Versuch handelt Im folgenden wollen wir dieses Ph�nomen zun�chst in einer einfachen Version (zweigliedrige Muster) auf Schulniveau behandeln, und zwar unter Zuhilfenahme bedingter Erwartungswerte. Daran anschliessend betrachten wir drei- und viergliedrige Muster, wobei dort insbesondere ein ''unfaires Spiel'' im Zentrum der Betrachtungen steht.

Heinz Althoff: Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen einer vollständigen Serie (Sammelbilderproblem) Es wird gezeigt, mit welchen Ideen f�r das genannte Problem eine Rekursionsformel mit zwei Parametern, eine Rekursionsformel mit einem Parameter und eine explizite Formel entwickelt werden k�nnen.

Hans Humenberger: Bedingte Erwartungswerte Das Thema Bedingte Erwartungswerte ist in der didaktischen Literatur nicht oft zu finden. Es ist daher kein Wunder, dass sie in vielen Stochastikkursen f�r Sch�ler fehlen. Dies ist insbesondere dann ''schade'', wenn in einem Stochastikkurs sowohl bedingte Wahrscheinlichkeiten als auch Erwartungswerte besprochen werden. Die fehlende Symbiose zum bedingten Erwartungswert ist mit wenig zus�tzlichem Aufwand verbunden, �ffnet aber eine viele Anwendungsm�glichkeiten. Es wird ein intuitiver Zugang zu bedingten Erwartungswerten (in Analogie zu bedingten Wahrscheinlichkeiten) gew�hlt, der mit einer abstrakten Definition des bedingten Erwartungswertes vertr�glich ist. Es folgen einige kurze Beispiele, die das ''Potential'' von bedingten Erwartungswerten illustrieren.

Heinz Klaus Strick: Beispiele von Klausur- und Prüfungsaufgaben aus einem Grundkurs Stochastik Die abgedruckten Aufgaben wurden als Klausuraufgaben in einem Grundkurs Stochastik der Stufe 13 gestellt bzw. im Rahmen der m�ndlichen Abiturpr�fungen einzelnen Sch�lerinnen und Sch�lern vorgelegt. Vorausgehender Unterricht und Ergebnisse werden diskutiert.

Heinz Althoff: Eine Leistungskurs-Abituraufgabe zum Fächerbelegungsmodell Vorgestellt werden f�r die genannte Aufgabe die unterschiedlichen Voraussetzungen, die Aufgabenstellung, eine m�gliche L�sung der Aufgabe sowie die Schwierigkeiten bei der Bewertung der Sch�lerarbeiten.

Helmut Wirths: Probleme mit einem Näherungsverfahren im Modell der Normalverteilung Die Aufgabe, einen minimalen Stichprobenumfang zu bestimmen, stellt ein h�ufig gestelltes Problem f�r Klausuren in der gymnasialen Oberstufe und auch in der schriftlichen Abiturpr�fung dar. Sie ist auch deshalb so beliebt, weil man in ihrer Bearbeitung mehr als nur das Abarbeiten von elementaren Routinen sieht, so dass man sie in der Regel als Anforderung h�heren Schwierigkeitsgrades ausweist. In der Praxis werden jedoch h�ufig beim L�sen dieser Aufgabe unabdingbare �berlegungen und unverzichtbare Untersuchungen vernachl�ssigt. (Abstract)

Peter Eichelsbacher und Helene Worms: Poisson-Approximation und Kopplung Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung genauer zu untersuchen. Mit einfachen Methoden, die in der Fachwelt Kopplungsmethoden genannt werden, kann man die G�te der Konvergenz beim klassischen Poissonschen Grenzwertsatz bewerten. Wir diskutieren hier eine sehr einfache Kopplungsmethode. Weiter wollen wir herausarbeiten, dass gerade bei der Poisson-Approximation eine Aussage �ber die G�te der Ann�herung von fundamentaler Bedeutung ist. Das ben�tigte mathematische Handwerkzeug geht �ber das Niveau eines Leistungskurses nicht hinaus.

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeberin: Ingeborg Strauß, Kronberg im Taunus
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 30(2000)
Heft 2

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Wolfgang Riemer: Leserbrief
Raphael Diepgen: Leserbrief
Armin Saam: Heuschnupfen und andere Krankheiten In dieser Parodie, die sich �ber sechs Briefe zwischen einem Doktoranden und einem Professor erstreckt, geht es um den kritischen Umgang mit Quoten, Abweichungen von Durchschnittswerten und um die Allgemeing�ltigkeit g�ngiger Schlussfolgerungen aus statistischen Daten.

Raphael Diepgen: Distanz auch zu sich selbst? Weiteres zu den Nennern n versus n-1 bei der Varianz Wenn man die Varianz ''mittelwertfrei'' �ber die quadratischen Abweichungen der Messwerte voneinander einf�hrt, stellt sich die Frage, ob man dabei die Abweichungen jeweils der Messwerte von sich selbst -- a priori alle ohnehin gleich null -- ber�cksichtigen sollte oder nicht. Einige didaktische Aspekte dieser Frage werden diskutiert.

Gerhard Knockläuner: Armutsmessung über alpha-Durchschnitte Die Vereinten Nationen ver�ffentlichen seit einigen Jahren den Index f�r menschliche Armut. Dieser Index fasst verschiedene menschliche Einschr�nkungen zusammen. Zur Berechnung wird ein spezieller alpha-Durchschnitt herangezogen. a-Durchschnitte verallgemeinern bekannte Mittelwertans�tze. Sie weisen besondere statistische Eigenschaften auf.

Joachim Engel: Markieren - Einfangen - Schätzen: Wie viele wilde Tiere? Die Modellierung eines �kologischen Problems -- die Bestimmung der Anzahl in Wildnis lebender Tiere -- bietet Gelegenheit zur Einf�hrung in statistisches Denken. Dazu wird eine handlungsorientierte �bung vorgestellt, die auf dem (Wieder-) Einfangen vorher markierter Tiere beruht. Die Qualit�t der Methode kann per Computersimulation oder durch mathematische Analyse bewertet werden. Der Problemkontext eignet sich als Einf�hrung oder als Gesamtschau wichtiger Konzepte der Stochastik. Eine abschliessende Modellkritik zeigt praktische Grenzen der Methode auf.

Dietmar Pfeifer: Zur Mathematik derivater Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastikunterricht Sp�testens seit der Verleihung des Nobelpreises f�r �konomie im Jahr 2007 an Myron Scholes und Robert Merton ist die zusammen mit Fischer Black seit 1972 entwickelte Theorie der mathematischen Bewertung von Finanzderivaten in aller Munde. Hiervon zeugen auch die mehr als ein Dutzend allein seit 2006 erschienenen Monographien und Handb�cher zu diesem Thema. In diesem Artikel soll aufgezeigt werden, dass und wie elementare Grundlagen der wesentlich mit Methoden der Stochastik arbeitenden modernen Finanzmathematik in der Schule vermittelt werden k�nnen.

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Hans Kilian; Dortmund
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Stochastik
in der Schule
Gauss 3D

Band 30(2000)
Heft 3

Inhaltsverzeichnis und Zusammenfassungen

Stefan Götz: Bayes-Statistik mit DERIVE %%Txt

Hans Humenberger: Kopf-Adler-Muster in Münzwurfserien, unendliche Reihen und Fibonacci-Zahlen %%Txt

Hans Riedwyl und Manuela Schaller: Versuchsplan: Zahlen sortieren %%Txt

Raphael Diepgen: Kovarianz oder Bestimmtheitsmaß? %%Txt

Herman Callaert: Höchst erstaunliche Graphen %%Txt

Heinz Renn: Ordinale Assoziationskoeffizienten - Mengenverknüpfungen und Paartypen %%Txt

Gerhard König: Bibliographische Rundschau
Heftherausgeber: Elke Warmuth; Berlin
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